电路：相位法-MuQYY的博客

正弦电流和电压在电路分析中可以转化成相量的形式，以简化计算和分析。这种转换的原理基于复数和欧拉公式，将时间域的正弦量转化为频域中的一个复数相量。需要注意的是，相量中的振幅通常指的是有效值（RMS值），而不是峰值。以下是如何进行这种转换的基本步骤和原理：

1. 正弦波表示

假设电压 $v(t)$ 和电流 $i(t)$ 为正弦形式：

电压：
$$ v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta_v) $$
电流：
$$ i(t) = I_m \cos(\omega t + \theta_i) $$

其中：

$V_m$ 和 $I_m$ 分别是电压和电流的最大值（峰值）。
$\omega$ 是角频率（$\omega = 2\pi f$，$f$ 为频率）。
$\theta_v$ 和 $\theta_i$ 分别是电压和电流的初相位。

2. 用复数表示正弦波

根据欧拉公式 $e^{j\theta} = \cos(\theta) + j \sin(\theta)$，我们可以将正弦波转换为复数形式：

电压：
$$ v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta_v) = \Re{V_m e^{j(\omega t + \theta_v)}} $$
电流：
$$ i(t) = I_m \cos(\omega t + \theta_i) = \Re{I_m e^{j(\omega t + \theta_i)}} $$

这里 $\Re$ 表示取复数的实部。

3. 定义相量

在相量表示中，我们通常使用信号的有效值（RMS值）来定义振幅，并省略时间变量 $ \omega t $，只关注振幅和相位。有效值与峰值之间的关系为：

$$ V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} $$

$$ I_{\text{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} $$

于是正弦量的相量表示为：

电压的相量：
$$ \mathbf{V} = V_{\text{rms}} e^{j\theta_v} = V_{\text{rms}} (\cos \theta_v + j \sin \theta_v) $$
电流的相量：
$$ \mathbf{I} = I_{\text{rms}} e^{j\theta_i} = I_{\text{rms}} (\cos \theta_i + j \sin \theta_i) $$

4. 相量的物理意义

相量法只表示交流量的振幅（有效值）和相位，而不显示时间变化。因此，相量表示简化了电路分析，因为我们只需要处理复数的代数运算，不需要处理复杂的三角函数。

例如，在分析交流电路时，可以用相量表示电阻、电感和电容的阻抗，并通过复数运算得到电路中的电压和电流关系。

5. 从相量回到正弦波

如果需要从相量回到时间域的正弦波形式，可以通过以下转换：

对相量 $\mathbf{V} = V_{\text{rms}} \angle \theta_v$，回到时间域电压的表达式为：
$$ v(t) = V_{\text{rms}} \sqrt{2} \cos(\omega t + \theta_v) $$

这样，相量与时间域正弦信号的对应关系清晰且易于在交流电路分析中运用。

例子

假设在一个交流电路中，电压和电流分别为：

电压：
$$ v(t) = 100 \cos(100\pi t + 30^\circ) , \text{V} $$
电流：
$$ i(t) = 5 \cos(100\pi t - 20^\circ) , \text{A} $$

我们将这两个正弦量转换为相量形式，以便在电路分析中使用。

步骤1：提取正弦量的参数

从给定的表达式中，我们可以得到：

电压：
- 峰值 $V_m = 100 , \text{V}$
- 有效值 $V_{\text{rms}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \approx 70.71 , \text{V}$
- 初相位 $\theta_v = 30^\circ$
电流：
- 峰值 $I_m = 5 , \text{A}$
- 有效值 $I_{\text{rms}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3.54 , \text{A}$
- 初相位 $\theta_i = -20^\circ$

步骤2：将正弦量表示为复数形式

根据欧拉公式：

$$ e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta $$

我们可以将正弦函数转换为复数的指数形式：

电压：
$$ v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta_v) = \Re{ V_m e^{j(\omega t + \theta_v)} } $$
电流：
$$ i(t) = I_m \cos(\omega t + \theta_i) = \Re{ I_m e^{j(\omega t + \theta_i)} } $$

步骤3：定义相量（使用有效值）

在相量分析中，我们关注的是振幅（有效值）和相位，而不涉及时间变量 $t$。因此，可以将时间依赖项 $e^{j\omega t}$ 省略，得到相量：

电压相量：
$$ \mathbf{V} = V_{\text{rms}} e^{j\theta_v} = 70.71 e^{j30^\circ} $$
电流相量：
$$ \mathbf{I} = I_{\text{rms}} e^{j\theta_i} = 3.54 e^{-j20^\circ} $$

注意：角度以度数为单位，使用 $j$ 表示虚数单位。

步骤4：将相量转换为直角坐标形式

为了方便计算，可以将相量从极坐标形式转换为直角坐标（复数）形式。

电压相量：
$$ \mathbf{V} = 70.71 (\cos 30^\circ + j \sin 30^\circ) $$
计算：
$$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660 $$
$$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0.5 $$
所以：
$$ \mathbf{V} = 70.71 (0.8660 + j0.5) $$
$$ \mathbf{V} = 61.23 + j35.36 , \text{V} $$
电流相量：
$$ \mathbf{I} = 3.54 (\cos(-20^\circ) + j \sin(-20^\circ)) $$
计算：
$$ \cos(-20^\circ) = \cos 20^\circ \approx 0.9397 $$
$$ \sin(-20^\circ) = -\sin 20^\circ \approx -0.3420 $$
所以：
$$ \mathbf{I} = 3.54 (0.9397 - j0.3420) $$
$$ \mathbf{I} = 3.33 - j1.21 , \text{A} $$

步骤5：使用相量进行电路计算

计算阻抗 $Z$：

$$ Z = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} $$

使用直角坐标形式进行计算：

$$ Z = \frac{61.23 + j35.36}{3.33 - j1.21} $$

为简化计算，乘以分母的共轭：

分母的共轭为：
$$ \overline{\mathbf{I}} = 3.33 + j1.21 $$
分子和分母同时乘以共轭：
$$ Z = \frac{(61.23 + j35.36)(3.33 + j1.21)}{(3.33 - j1.21)(3.33 + j1.21)} $$
计算分子和分母：
- 分母：
  $$ (3.33)^2 + (1.21)^2 = 11.09 + 1.46 = 12.55 $$
- 分子：
  $$ (61.23 \times 3.33 - 35.36 \times 1.21) + j(61.23 \times 1.21 + 35.36 \times 3.33) $$
  $$ = (203.89 - 42.79) + j(74.09 + 117.76) $$
  $$ = 161.10 + j191.85 $$
最终得到：
$$ Z = \frac{161.10 + j191.85}{12.55} $$
$$ Z \approx 12.83 + j15.29 , \Omega $$
将结果转换为极坐标形式：
- 模（阻抗的大小）：
  $$ |Z| = \sqrt{(12.83)^2 + (15.29)^2} \approx 20 , \Omega $$
- 相位角：
  $$ \phi = \arctan\left( \frac{15.29}{12.83} \right) \approx 50^\circ $$

因此，阻抗为：

$$ Z = 20 \angle 50^\circ , \Omega $$

步骤6：从相量回到时间域表达式

如果需要将相量转换回时间域的正弦表达式，可以使用：

电压：
$$ v(t) = V_{\text{rms}} \sqrt{2} \cos(\omega t + \theta_v) = 100 \cos(100\pi t + 30^\circ) , \text{V} $$
电流：
$$ i(t) = I_{\text{rms}} \sqrt{2} \cos(\omega t + \theta_i) = 5 \cos(100\pi t - 20^\circ) , \text{A} $$