特征值的几何重数和代数重数

在线性代数中，特征值（eigenvalue）是描述矩阵重要特性的一部分。特征值不仅决定了矩阵的性质，也揭示了矩阵的结构特征。本文将讨论特征值的几何重数（geometric multiplicity）和代数重数（algebraic multiplicity）及其区别和联系。

1. 代数重数

特征值的代数重数是指特征值在矩阵的特征多项式中出现的次数。

代数重数的定义

设矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，矩阵的特征多项式为

$$
\det(A - \lambda I) = 0
$$

代数重数是特征多项式中根 $\lambda$ 出现的次数。例如，如果特征多项式中包含 $ (\lambda - \lambda_i)^m $，则 $\lambda_i$ 的代数重数为 $m$。

示例

考虑以下矩阵：

该矩阵的特征多项式为：

因此，特征值 $\lambda = 5$ 的代数重数为 2。

2. 几何重数

特征值的几何重数是与该特征值相关的线性无关特征向量的个数，也就是特征子空间的维数。

几何重数的定义

设 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，对应的特征子空间是由满足 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 的所有特征向量 $\mathbf{v}$ 构成的向量空间。几何重数是该特征子空间的维数。

计算几何重数通常通过求解方程 $(A - \lambda I) \mathbf{v} = 0$，即计算矩阵 $A - \lambda I$ 的核（null space）。

示例

继续使用前面的矩阵 $A$：

我们已经知道 $\lambda = 5$ 是特征值，代数重数为 2。接下来计算 $A - 5I$：

我们解方程 $(A - 5I) \mathbf{v} = 0$，即：

得到 $v_2 = 0$，$v_1$ 可以取任意值。因此，特征子空间的维数为 1，即特征值 $\lambda = 5$ 的几何重数为 1。

3. 代数重数与几何重数的关系

对于一个矩阵的特征值 $\lambda$，其几何重数总是小于或等于代数重数。即对于特征值 $\lambda$：

$$
\text{几何重数} \leq \text{代数重数}
$$

当几何重数等于代数重数时，矩阵在该特征值处是可对角化的；否则，矩阵在该特征值处是不可对角化的。

例子总结

在我们的示例中，矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda = 5$ 的代数重数为 2，而几何重数为 1。这意味着该矩阵不可对角化，但可以通过约当标准形（Jordan Canonical Form）进行分解。

4. 总结

特征值的代数重数和几何重数是矩阵分析中的两个重要概念。代数重数描述了特征值在特征多项式中出现的次数，而几何重数则描述了与该特征值相关的线性无关特征向量的个数。几何重数总是小于或等于代数重数，当两者相等时，矩阵可以对角化。

理解这两个概念不仅能帮助我们分析矩阵的性质，还可以在实际计算中判断矩阵是否可对角化，以及如何进一步进行矩阵分解。