通俗理解先验与后验

一个简单的例子：医生看病

想象一下，你是一位医生，现在是流感高发季。

1. 先验 (Prior) - “凭经验的初始判断”

一位病人走了进来，还没等他开口说话，你心里已经有了一个大概的判断。

“根据现在的季节和本地的流行病数据，十个来看病的人里大概有一个是流感。所以，我初步判断这位病人得流感的可能性是10%。”

这个在你获得任何关于这位病人的具体信息（证据）之前，仅仅基于你的背景知识、历史数据和经验得出的初始判断概率，就是先验概率 (Prior Probability)。

• 先验概率 P(得流感) = 10%

2. 证据 (Evidence) - “新的事实”

现在，病人开口了，他说：“医生，我发烧到39度，还不停地咳嗽。”

这个“发烧39度，不停咳嗽”就是你得到的新证据 (Evidence)。

3. 后验 (Posterior) - “根据事实更新后的判断”

听到了这个强有力的证据后，你肯定要修正你之前的判断。你知道，得了流感的人，大部分都会发烧咳嗽。

你结合了“流感病人大概率会发烧咳嗽”这个知识，和你一开始“有10%可能性是流感”的先验判断，在脑中迅速进行了一次推理，然后得出了一个新的结论：

“考虑到他有如此典型的症状，现在我判断他得流感的可能性已经上升到了80%！”

这个在你观察到新证据之后，对原有判断进行更新后得到的概率，就是后验概率 (Posterior Probability)。

• 后验概率 P(得流感 | 发烧咳嗽) = 80%

核心关系与贝叶斯公式

“先验”和“后验”的转换过程，正是由大名鼎鼎的贝叶斯定理所描述的。

$$P(H | E) = \frac{P(E | H) \cdot P(H)}{P(E)}$$

我们把这个公式对应到刚才的例子里：

• P(H|E) (后验概率)：我们最终想知道的。在看到证据E（发烧咳嗽）后，病人患有假设H（得流感）的概率。
• P(H) (先验概率)：我们的初始信念。在没有任何证据前，病人患有假设H（得流感）的概率。
• P(E|H) (似然/Likelihood)：如果假设H（得流感）为真，出现证据E（发烧咳嗽）的概率有多大。这个值通常很高，因为流感确实会导致这些症状。
• P(E) (证据)：证据E（发烧咳嗽）本身发生的概率。

贝叶斯定理的精髓就是：后验概率 ∝ 先验概率 × 似然度

Posterior ∝ Prior × Likelihood

这意味着，我们对一件事的最终看法（后验），取决于我们一开始有多相信它（先验），以及新来的证据对它的支持程度有多大（似然度）。

总结表格

一个有趣的点是，这一次的“后验”，可以成为下一次分析的“先验”。如果这位病人接着又说“我刚从南极科考回来”，你又会把80%这个后验概率作为新的先验，结合“南极没流感”这个新证据，再次更新你的判断。这个不断迭代更新的过程，就是贝叶斯推理的魅力所在。